Jacob Tengström syntyi 4.12. 1755 Kokkolassa ja kuoli 26.12. 1832 Turussa. Vanhemmat: pitäjänapulainen Johan Tengström ja Maria Chydenius.
Lapsena pieni ja kivulloinen Tengström jäi orvoksi, mutta pääsi terävänä poikana sukulaisten tuella kouluun ja opiskelemaan. Hän valmistui maisteriksi Turussa 1775, nimitettiin siveysopin dosentiksi 1778 ja filosofian apulaiseksi 1780. Hän sai Ruotsin Kirjallisuusakatemian useita palkintoja, mm. Vergiliuksen Aeneiksen 1. kirjan ruotsinnoksesta ja tutkimuksesta Historisk afhandling om svenska sjömagten i äldre tider och i synnerhet under konung Erik XIV.
Tengström väitteli Turussa 1783, nimitettiin jumaluusopin apulaiseksi sekä vihittiin 1784 papiksi. Vuonna 1790 hänestä tuli jumaluusopin professori.
Tengström oli Porthanin ystäviä ja avusti Åbo Tidningaria. Vuosina 1781-83 hän oli lehden päätoimittaja.
Tengströmin historiaharrastus tuotti mm. 18-osaisen väitöskirjasarjan Vita et merita M. Isaaci B. Rothovii episcopi q. aboensis. Lisäksi hän kirjoitti äastenkirjat Läseöfning för mina barn (1785) ja Tidsfördrif för mina barn (1799, suomeksi1836).
Tengström oli Suomen Talousseuran perustajia. Vuonna 1803 ilmestyi hänen opaskirjansa Försök till lärobok i landthushållningen för den finska bonden (suom. 1846) ja vuonna 1804 Om Ahlmanska sockenskolornes tjänligaste inrättning.
Tengström oli mukana Norrköpingin valtiopäivillä 1800 ja kuului salaiseen valiokuntaan. Vuonna 1803 hänet nimitettiin Turun piispaksi ja hänestä tuli yliopiston sijaiskansleri.
Kun sota syttyi 1808, Tengström oli varma, että Venäjä valloittaa Suomen ja hän alkoi yhteistyöhön valloittajan kanssa. Kirjeessä keisarille hän esitti Turun yliopiston "kiintymyksen ja kiitollisuuden" tunteet ja sai jo huhtikuussa palkinnoksi korkean venäläisen kunniamerkin. Toukokuussa hän vannoi Venäjälle uskollisuudenvalan.
Tengström ei pitänyt valtiopäivien kokoonkutsumista tärkeänä, koska Suomella ei ollut ennenkään omia valtiopäiviä. Hänestä tuli kuitenkin pappissäädyn puhemies. Hän johti komiteaa, joka teki ehdotuksen maan ylimmän hallinnon järjestämiseksi. Tästä toiminnasta hän laati kuvauksen Berättelse om landtdagen i Borgå (1809, 1810 ja 1839).
Hallitsija palkitsi Tengströmin korottamalla hänen lapsensa aatelissäätyyn. Tengströmin aloitteesta suuriruhtinas Nikolaista tuli yliopiston kansleri vuonna 1816.
Kun Turun hiippakunta uskonpuhdistuksen riemujuhlan johdosta 1817 korotettiin arkkihiippakunnaksi, Tengströmistä tuli Suomen ensimmäinen arkkipiispa.
Viimeiset vuotensa Turun palon jälkeen Tengström asui palkkapitäjänsä Paraisten pappilassa. Täällä asui myös Tengströmin veljentytär Fredrika, johon J.L. Runeberg tutustui vuonna 1827 ollessaan pappilassa kotiopettajana. Runebergin isä oli Jacob Tengströmin serkku.
Puoliso vuodesta 1787 Anna Kristina Caloander (k. 1831).